希尔伯特空间是老希在解决无穷维线性方程组时提出的概念, 原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的, 无法适用, 这迫使老希去思考无穷维欧几里得空间, 也就是无穷序列空间的性质。

大家知道, 在一个欧几里得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1,x2, x3,....xn).  那么类似的, 在一个无穷维欧几里得空间上点就是:X=(x1, x2, x3,....xn,.....), 一个点的序列.

欧氏空间上有两个重要的性质,一是每个点都有一个范数(绝对值,或者说是一个点到原点的距离),||X||^2=∑xn^2, 可是这一重要性质在无穷维时被破坏了: 对于无穷多个xn,

∑xn^2可以不存在(为无穷大). 于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间,并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积. 这个空间我们现在叫做 l^2, 平方可和数列空间,这是最早的希尔伯特空间了.